Debug - All Mathjax (18305)

$~$X$~$

$$~$ f: X \rightarrow \bigcup_{Y \in X} Y $~$$

$~$X$~$

$~$X$~$

$~$Y \in X$~$

$~$Y$~$

$~$f$~$

$~$Y$~$

$~$f(Y) \in Y$~$

$$~$ \forall_X \left( \left[\forall_{Y \in X} Y \not= \emptyset \right] \Rightarrow \left[\exists \left( f: X \rightarrow \bigcup_{Y \in X} Y \right) \left(\forall_{Y \in X} \exists_{y \in Y} f(Y) = y \right) \right] \right) $~$$

$~$X$~$

$~$X$~$

$~$Y_1, Y_2, Y_3$~$

$~$y_1 \in Y_1, y_2 \in Y_2, y_3 \in Y_3$~$

$~$f$~$

$~$f(Y_1) = y_1$~$

$~$f(Y_2) = y_2$~$

$~$f(Y_3) = y_3$~$

$~$X$~$

$~$X$~$

$~$Y_1, Y_2, Y_3, \ldots$~$

$~$f$~$

$~$Y$~$

$~$n$~$

$~$n$~$

$~$f$~$

$~$ax2+bx+c=0$~$

$~$ax2+bx+c=0$~$

$~$ax2+bx+c=0$~$

$~$-\infty$~$

$~$+\infty,$~$

$~$0$~$

$~$1$~$

$~$0$~$

$~$1$~$

$~$\mathbb P(X) + \mathbb P(\lnot X)$~$

$~$\lnot X$~$

$~$X$~$

$~$\aleph_0$~$

$~$\{+,\dot,0,1\}$~$

$~$2^6 = 64$~$

$~$p<0.05$~$

$~$10 bet that paid out $~$

$~$8$~$

$~$4$~$

$~$\log_4 8$~$

$~$1.5$~$

$~$3$~$

$~$2$~$

$~$log_2 3$~$

$~$n \in \mathbb R^{\ge 1},$~$

$~$\in \mathbb R^{\ge 0}$~$

$~$f(x^y)=yf(x)$~$

$~$f(b^n)=nf(b)$~$

$~$f(b)=1 \implies f(b^n)=n,$~$

$~$n$~$

$~$f$~$

$~$(\mathbb{R}^{>0},\cdot)$~$

$~$(\mathbb{R},+)$~$

$~$log$~$

$~$\mathbb{R}$~$

$$~$ s(d) = \textrm{surprise}(d \mid H) = - \log \Pr (d \mid H) $~$$

$~$d$~$

$~$H$~$

$~$s$~$

$~$H$~$

$~$s$~$

$~$H$~$

$~$(d \mid H)$~$

$$~$\textrm{log-likelihood} = -\textrm{surprise}$~$$

$~$d$~$

$~$H$~$

$~$t(d)$~$

$~$t$~$

$~$H$~$

$~$t$~$

$~$t$~$

$~$\Pr(d \mid H)$~$

$~$H$~$

$$~$\Pr(H \mid d) = \Pr(H \mid t(d))$~$$

$~$H$~$

$~$s$~$

$~$d$~$

$~$t$~$

$~$s$~$

$~$H$~$

$~$d$~$

$~$d$~$

$~$H$~$

$~$d$~$

$~$H$~$

$~$d$~$

$~$\mathbb P(e \mid GoodDriver)$~$

$~$\mathbb P(e \mid BadDriver)$~$

$~$\mathbb P(BadDriver)$~$

$$~$\aleph_{\alpha} + \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha} \aleph_{\alpha}$~$$

$$~$2^{\aleph_{\alpha}} > \aleph_{\alpha}$~$$

$~$\mathbf H$~$

$~$H_1, H_2, \ldots$~$

$~$\mathbf H,$~$

$~$C = AB; c_{ii} = a_{ii} * b_{ii}; ∀ i ≠ j, c_{ij} = 0$~$

$~$X_i$~$

$~$x_i$~$

$~$X_i$~$

$~$X_0$~$

$~$X_1$~$

$~$X_2$~$

$~$X_3$~$

$~$x_i$~$

$~$V$~$

$~$U$~$

$~$S$~$

$~$\le$~$

$~$X$~$

$~$X \cup X^{-1}$~$

$~$r r^{-1}$~$

$~$r^{-1} r$~$

$~$r r^{-1}$~$

$~$r \in X$~$

$~$r^{-1} r$~$

$~$X \cup X^{-1}$~$

$~$(1 : 10^{100})$~$

$~$(1 : 10^6)$~$

$~$n$~$

$~$x$~$

$~$x \cdot x \le n$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$x=316$~$

$~$x$~$

$~$x^2 \le 100000.$~$

$~$M$~$

$~$N$~$

$~$x!$~$

$$~$x! = \Gamma (x+1),$~$$

$~$\Gamma $~$

$$~$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$~$x$~$

$$~$\prod_{i=1}^{x}i = \int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$~$x=1$~$

$$~$\prod_{i=1}^{1}i = \int_{0}^{\infty}t^{1}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$$~$1=1$~$$

$~$x$~$

$$~$\prod_{i=1}^{x}i = \int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$~$x + 1$~$

$$~$\prod_{i=1}^{x+1}i = \int_{0}^{\infty}t^{x+1}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$~$x+1$~$

$$~$\prod_{i=1}^{x}i = \int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$$~$(x+1)\prod_{i=1}^{x}i = (x+1)\int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$$~$\prod_{i=1}^{x+1}i = (x+1)\int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$$~$= 0+\int_{0}^{\infty}(x+1)t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$$~$= \left (-t^{x+1}e^{-t}) \right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}(x+1)t^{x}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$$~$= \left (-t^{x+1}e^{-t}) \right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}(x+1)t^{x}(-e^{-t})\mathrm{d} t$~$$

$$~$=\int_{0}^{\infty}t^{x+1}e^{-t}\mathrm{d} t$~$$

$~$(S, \le)$~$

$~$S$~$

$~$\le$~$

$~$S$~$

$~$\leq$~$

$~$\leq$~$

$~$Y$~$

$~$X$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$X$~$

$~$X.$~$

$~$H_{0.55},$~$

$~$H_{0.6}$~$

$~$H_{0.8}.$~$

$~$H_{0.5},$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$\bP$~$

$~$\bP$~$

$~$Y$~$

$~$f$~$

$~$Y$~$

$~$\operatorname{square} : \mathbb R \to \mathbb R$~$

$~$\operatorname{square}(x)=x^2$~$

$~$\mathbb R$~$

$~$\mathbb R$~$

$~$\mathbb R$~$

$~$\mathbb C$~$

$~$Prv(x)$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$2^n$~$

$~$2^{3,000,000,000,000}$~$

$~$2^{3,000,000,000,000}$~$

$~$2^\text{3 trillion}$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$31a + b$~$

$~$31\cdot 30 + 30 = 960$~$

$~$\mathcal L(H \mid e) < 0.05$~$

$~$H$~$

$~$e$~$

$~$H$~$

$~$H$~$

$~$e$~$

$~$\mathcal L(H \mid e)$~$

$~$e$~$

$~$H$~$

$~$b$~$

$~$n,$~$

$~$\log_b(n),$~$

$~$b$~$

$~$n$~$

$~$\log_{10}(100)=2,$~$

$~$\log_{10}(316) \approx 2.5,$~$

$~$316 \approx$~$

$~$10 \cdot 10 \cdot \sqrt{10},$~$

$~$\sqrt{10}$~$

$~$\log_{10}(\text{2,310,426})$~$

$~$f$~$

$~$x$~$

$~$f(x)$~$

$~$1/2$~$

$~$f$~$

$~$H_{fair},$~$

$~$H_{heads}$~$

$~$H_{tails}$~$

$~$(1/2 : 1/3 : 1/6).$~$

$~$(3 : 2 : 1)$~$

$~$(2 : 1 : 3).$~$

$~$(2 : 3 : 1)$~$

$~$(3 : 2 : 1)$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$C$~$

$~$C$~$

$~$\mathcal T$~$

$~$B$~$

$~$D$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$X \to Y$~$

$~$Y^X$~$

$~$Y^2$~$

$~$Y$~$

$$~$1$~$$

$~$99\cdot 2=198$~$

$~$100$~$

$~$LDT$~$

$~$198$~$

$~$100$~$

$~$1$~$

$~$0$~$

$~$\mathbb P(X_i | \mathbf{pa}_i)$~$

$~$X_i$~$

$~$x_i$~$

$~$\mathbf {pa}_i$~$

$~$x_i$~$

$~$\mathbf x$~$

$~$\bullet$~$

$~$G$~$

$~$G$~$

$~$t = 0$~$

$~$4.7 t^2$~$

$~$t$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$n-1$~$

$~$n$~$

$~$\log_{10}(x)$~$

$~$x;$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$P(n)$~$

$~$n$~$

$~$P(n)$~$

$~$n$~$

$~$P(m)$~$

$~$k \geq m$~$

$~$P(k)$~$

$~$P(k+1)$~$

$~$P(m)$~$

$~$P(m+1)$~$

$~$P(m+1)$~$

$~$P(m+2)$~$

$~$-1$~$

$~$P$~$

$~$P(x)$~$

$~$P(X=x)$~$

$~$X$~$

$~$P$~$

$~$s$~$

$$~$ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$~$$

$~$n \ge 1$~$

$~$n=1$~$

$$~$ 1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.$~$$

$~$k$~$

$~$k\ge1$~$

$$~$1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}$~$$

$$~$ 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)([k+1]+1)}{2}.$~$$

$~$k+1$~$

$$~$1+2+\cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + k + 1.$~$$

$$~$\frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{(k+2)(k+1)}{2} = \frac{(k+1)([k+1]+1)}{2}.$~$$

$$~$ 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)([k+1]+1)}{2}$~$$

$~$n$~$

$~$k+1$~$

$~$\lambda$~$

$~$\lambda x.f(x)$~$

$~$x$~$

$~$f(x)$~$

$~$\lambda x.x+1$~$

$~$\lambda$~$

$~$\lambda x.\lambda y.x+y$~$

$~$\lambda xy.x+y$~$

$~$\lambda xy$~$

$~$\lambda x.\lambda y$~$

$~$\newcommand{\rats}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Ql}{\rats^\le} \newcommand{\Qr}{\rats^\ge} \newcommand{\Qls}{\rats^<} \newcommand{\Qrs}{\rats^>}$~$

$~$\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\sothat}{\ |\ }$~$

$~$S$~$

$~$2^6 < 101 < 2^7$~$

$~$\lambda x.(\lambda y.(x+y))$~$

$~$(\lambda x.(\lambda y.(x+y)))$~$

$~$f\ x\ y$~$

$~$f$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$(f\ x)\ y$~$

$~$f\ (x\ y)$~$

$~$\lambda$~$

$~$\lambda x.\lambda y.x+y$~$

$~$\lambda x.(\lambda y.(x+y))$~$

$~$(\lambda x.\lambda y.x)+y$~$

$~$\lambda x.(\lambda y.x)+y$~$

$~$\lambda$~$

$~$\lambda xy.x+y$~$

$~$\lambda x.\lambda y.x+y$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$n-1$~$

$~$n$~$

$~$\log_{10}(x)$~$

$~$x;$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$\log_{10}(12) \approx 1.08$~$

$~$\log_2(10) \approx 3.32$~$

$~$2 : 1$~$

$~$8 : 1,$~$

$~$2 : 1$~$

$~$4 : 1.$~$

$~$(a_1 a_2 \dots a_k)$~$

$~$(a_k a_{k-1} \dots a_1)$~$

$~$0.999\dotsc=1$~$

$~$A \cdot B = A + A + A$~$

$~$B$~$

$~$\mathbb P$~$

$~$\operatorname{d}\!f$~$

$~$\operatorname{d}\!f$~$

$~$X$~$

$~$\mathbb P(X)$~$

$~$X.$~$

$~$f$~$

$~$X$~$

$~$I$~$

$~$Y$~$

$~$I$~$

$~$(X, \bullet)$~$

$~$X$~$

$~$\bullet$~$

$~$X$~$

$~${^-3}$~$

$~${^-1}$~$

$~${^-4}$~$

$~$(1 : 16)$~$

$~$\mathbb{N}$~$

$~$\omega$~$

$~$d$~$

$~$d$~$

$~$S$~$

$$~$d: S \times S \to [0, \infty)$~$$

$~$10^{10} < 2^{35}.$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$n-1$~$

$~$n$~$

$~$\log_{10}(x)$~$

$~$x;$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$A = \{ \{ 1,2 \}, \{ 3,4 \}, 1, 2, 3, 4 \}$~$

$~$x = \{1,2\}$~$

$~$a = 2$~$

$~$a \in x$~$

$~$x \in A$~$

$~$a \in A$~$

$~$B = \{ \{ 1,2 \}, \{ 3,4 \} \}$~$

$~$y = \{1,2\}$~$

$~$b = 2$~$

$~$b \in y$~$

$~$y \in B$~$

$~$b \notin B$~$

$~$3^{10}$~$

$~$n^k$~$

$~$\log_2(6) + \log_2(10) + 3\log_2(2) \approx 8.9$~$

$~$2*3^6 = 432,$~$

$~$\log_2(2) + 3*\log_2(6) \approx 8.75$~$

$~$\mathbb P({positive}\mid {HIV}) = .997$~$

$~$\mathbb P({negative}\mid \neg {HIV}) = .998$~$

$~$\mathbb P({positive} \mid \neg {HIV}) = .002.$~$

$~$1 : 100,000$~$

$~$500 : 1.$~$

$~$\mathbb P(sick \mid blackened)$~$

$~$\mathbb P(sick \wedge blackened)$~$

$~$\mathbb P(blackened)$~$

$~$PA$~$

$~$\square_{PA}$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$A$~$

$~$\square_{PA}(\ulcorener A\urcorner$~$

$~$A$~$

$~$PA$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$c$~$

$~$n$~$

$~$c.$~$

$~${\bf \hat v}$~$

$$~$|\mathbf{\hat v}| = \left|\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\right| = \left|\frac{1}{|\mathbf{v}|}\right||\mathbf{v}| = \frac{|\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}=1$~$$

$~$\hat{\mathbf v} = \frac{1}{| \mathbf v |}\mathbf v = \frac{\mathbf v}{| \mathbf v |}$~$

$~$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$~$

$~$\frac{1}{2}$~$

$~$G_0 \xrightarrow{f_1} G_1 \xrightarrow{f_2} G_2 \xrightarrow{f_3} \cdots \xrightarrow{f_n} G_n$~$

$~$\text{im}(f_k) = \text{ker}(f_{k+1})$~$

$~$0 \le k < n$~$

$~$n\times n$~$

$~$A$~$

$~$a_{i,j}$~$

$~$\det(A) = \sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}$~$

$~$S_n$~$

$~$n$~$

$~$\log_b(x)$~$

$~$b$~$

$~$x$~$

$~$K$~$

$~$O$~$

$~$\mathbb P(X_i | \mathbf{pa}_i)$~$

$~$X_i$~$

$~$x_i$~$

$~$\mathbf {pa}_i$~$

$~$x_i$~$

$~$\mathbf x$~$

$~$2^{101}$~$

$~$\prec$~$

$~$\langle \mathbb R, \leq \rangle$~$

$~$\leq$~$

$~$0 < 1$~$

$~$0$~$

$~$\mathbb R$~$

$~$x \in \mathbb R$~$

$~$x > 0$~$

$~$y \in \mathbb R$~$

$~$0 < y < x$~$

$~$\mathbb R$~$

$~$f(x)=1$~$

$~$1$~$

$~$\{1\}$~$

$~$V:s \mapsto V(s)$~$

$~$s$~$

$~$n$~$

$~${^-2}$~$

$~${^-6}$~$

$~$\log_{10}(10^{-6}) - \log_{10}(10^{-2})$~$

$~${^-4}$~$

$~${^-13.3}$~$

$~$\log_{10}(\frac{0.10}{0.90}) - \log_{10}(\frac{0.11}{0.89}) \approx {^-0.954}-{^-0.907} \approx {^-0.046}$~$

$~${^-0.153}$~$

$~$x^{-1}$~$

$~$\rho_{x^{-1}}$~$

$~$\rho_x$~$

$~$\rho_{x^{-1}}$~$

$~$\rho_\epsilon$~$

$~$\log_{10}(500)$~$

$~$p \prec q$~$

$~$q$~$

$~$P$~$

$~$p$~$

$~$p \prec q$~$

$~$p$~$

$~$q$~$

$~$p$~$

$~$q$~$

$~$q$~$

$~$p$~$

$~$x,$~$

$~$\lceil x \rceil$~$

$~$\operatorname{ceil}(x),$~$

$~$n \ge x.$~$

$~$\lceil 3.72 \rceil = 4, \lceil 4 \rceil = 4,$~$

$~$\lceil -3.72 \rceil = -3.$~$

$~$[n]$~$

$~$k$~$

$~$[n]$~$

$~$k$~$

$~$\pi_5$~$

$~$V$~$

$~$V$~$

$~$V$~$

$~$(x : y)$~$

$~$\alpha$~$

$~$(\alpha x : \alpha y).$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$\frac{x}{y}.$~$

$~$\frac{x}{y}$~$

$~$(x : y),$~$

$~$\left(\frac{x}{y} : 1\right).$~$

$~$x/y$~$

$~$\ \mathbb P(a_x \ \square \! \! \rightarrow o_i).$~$

$~$\mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).$~$

$~$1 : 4$~$

$~$3 : 1$~$

$~$(1 \cdot 3) : (4 \cdot 1) = 3 : 4$~$

$~$H$~$

$~$\frac{1}{8}$~$

$~$\lnot H$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\lnot H$~$

$~$H,$~$

$~$\mathbb P(e \mid H)$~$

$~$\mathbb P(e \mid \lnot H)$~$

$~$\left(\frac{1}{8} : \frac{1}{4}\right)$~$

$~$=$~$

$~$(1 : 2),$~$

$~$H.$~$

$~$\mathbb{C}$~$

$~$S$~$

$~$S$~$

$~$S$~$

$~$S$~$

$~$n\in\mathbb{N}$~$

$~$f(b)=1\Rightarrow f(b^q)=q$~$

$~$q\in\mathbb{Q}$~$

$~$f$~$

$~$bayes_rule_details,$~$

$~$\mathbb P(\mathbf x | \operatorname{do}(X_j=x_j))$~$

$~$\mathbb P(X \mid Y)$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$\mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5\}$~$

$~${5}$~$

$~$1/8$~$

$~$1$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$b$~$

$~$a$~$

$~$a$~$

$~$c$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$b$~$

$~$c$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$c$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$A$~$

$~$1$~$

$~$B$~$

$~$0$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$A$~$

$~$1$~$

$~$B$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$\log_{10}(\text{2,310,426})$~$

$~$\frac{a}{m}$~$

$~$a$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$n$~$

$~$a$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$n$~$

$~$n$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$\frac{1}{m} \times \frac{1}{n}$~$

$~$\frac{1}{m \times n}$~$

$~$\frac{n}{m} = n \times \frac{1}{m}$~$

$~$\frac{n}{m} = n \times \frac{1}{m}$~$

$~$V_i$~$

$~$v_i.$~$

$~$v_i$~$

$~$v_i^*$~$

$~$V_i$~$

$~$X = \{ a, b \}$~$

$~$n$~$

$~$\sqrt{n}$~$

$~$n$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$x \cdot x$~$

$~$n$~$

$~$n$~$

$~$\sqrt{n}$~$

$~$\log_b(316) \approx \frac{5\log_b(10)}{2}$~$

$~$\log$~$

$~$\log_2(3)$~$

$~$1$~$

$~$\log_2(6),$~$

$~$\log_2(9)$~$

$~$\log_2(3^{10}),$~$

$~$\log_2(3^9)$~$

$~$\log_2(3^{10}).$~$

$~$\log_2(3)$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$(5 : 3 : 2) \cdot (2 : 1 : 5) \cdot (12 : 10 : 1) = (120 : 30 : 10) \cong (12/16 : 3/16 : 1/16)$~$

$~$D$~$

$~$A$~$

$~$A$~$

$~$\{0,1\}^*$~$

$~$C_2$~$

$~$2$~$

$~$1$~$

$~$-1$~$

$~$1$~$

$~$-1$~$

$~$f(x)$~$

$~$f(-x)$~$

$~$f(x)$~$

$~$(-1) \times (-1) = 1$~$

$~$f(-(-x)) = f(x)$~$

$~$P$~$

$~$\leq$~$

$~${+1}$~$

$~${^+1}$~$

$~$0.01$~$

$~$0.000001$~$

$~$0.11$~$

$~$0.100001.$~$

$~$\mathbb P(f\mid e\!=\!\textbf {THT}) = \dfrac{\mathcal L(e\!=\!\textbf{THT}\mid f) \cdot \mathbb P(f)}{\mathbb P(e\!=\!\textbf {THT})} = **\dfrac{(1 - x) \cdot x \cdot (1 - x) \cdot 1}{\int_0^1 (1 - x) \cdot x \cdot (1 - x) \cdot 1 \** \operatorname{d}\!f} = 12 \cdot f(1 - f)^2$~$

$~$\emptyset$~$

$~$57$~$

$~$\mathrm{sin}$~$

$~$f : X \times X \to X$~$

$~$x, y, z$~$

$~$X$~$

$~$f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z)$~$

$~$+$~$

$~$(x + y) + z = x + (y + z)$~$

$~$x, y,$~$

$~$z$~$

$~$0 + 2\mathbb Z$~$

$~$1 + 2\mathbb Z$~$

$~$+$~$

$~$\text{even}$~$

$~$\text{odd}$~$

$~$\text{even}+ \text{even} = \text{even}$~$

$~$\text{even} + \text{odd} = \text{odd}$~$

$~$\text{odd} + \text{odd} = \text{odd}$~$

$~$x$~$

$~$x$~$

$~$n$~$

$~$c$~$

$~$n$~$

$~$c.$~$

$~$\mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).$~$

$~$f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$~$

$~$g$~$

$~$g$~$

$~$h$~$

$~$h(x+y)=h(x)+h(y)$~$

$$~$h(g(x\cdot y))=h(g(x))+h(g(y))$~$$

$~$h$~$

$~$h(x)=ch(x)$~$

$~$c$~$

$~$\mathbb{R}$~$

$~$\mathbb{Q}$~$

$~$\mathbb{R}$~$

$~$f$~$

$~$f$~$

$~$f$~$

$~$\mathsf{Fairbot}$~$

$~$\mathsf {Fairbot}$~$

$~$\mathsf {Fairbot}$~$

$~$\mathsf {Fairbot}$~$

$~$\mathsf {Fairbot}$~$

$~$\mathsf {CooperateBot},$~$

$~$\mathsf {Fairbot}$~$

$~$\mathsf {CooperateBot},$~$

$~$\mathsf {Fairbot}$~$

$~$\mathbb P(X \wedge Y) = \mathbb P(Y) \cdot \mathbb P(X|Y).$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$1$~$

$~$1+2+4+8+\dotsc=-1$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$0.999\dots\neq1$~$

$~$0.999\dots$~$

$~$1$~$

$~$0.999\dots$~$

$~$9$~$

$~$\sum_{k=1}^\infty 9 \cdot 10^{-k}$~$

$~$(\sum_{k=1}^n 9 \cdot 10^{-k})_{n\in\mathbb N}$~$

$~$a_n$~$

$~$n$~$

$~$1$~$

$~$\varepsilon>0$~$

$~$N\in\mathbb N$~$

$~$n>N$~$

$~$|1-a_n|<\varepsilon$~$

$~$1-a_n=10^{-n}$~$

$~$a_0$~$

$~$0$~$

$~$a_0=0$~$

$~$1-a_0=1=10^0$~$

$~$1-a_i=10^{-i}$~$

$~$1-a_n=10^{-n}$~$

$~$n$~$

$~$10^{-n}$~$

$~$10^{-n}$~$

$~$0.999\dotsc=1$~$

$~$0.999\dotsc=1$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$1$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$0.$~$

$~$0$~$

$~$1-0.999\dotsc=0.000\dotsc001\neq0$~$

$~$0.000\dotsc001$~$

$~$1$~$

$~$0$~$

$~$0.000\dotsc001$~$

$~$0$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$0.9, 0.99, 0.999, \dotsc$~$

$~$1$~$

$~$1$~$

$~$1$~$

$~$1$~$

$~$1$~$

$~$1$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$9.999\dotsc$~$

$~$9$~$

$~$9.99-0.999=8.991$~$

$~$9.999\dotsc-0.999\dotsc=8.999\dotsc991$~$

$~$9$~$

$~$0.999\dotsc$~$

$~$8.999\dotsc991$~$

$~$1$~$

$~$10^{100},$~$

$~$10^{10^{100}}$~$

$~$10^{googol}$~$

$~$ 10^{10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}.$~$

$~$1 to be effectively +$~$

$~$E = -mc^2,$~$

$~$\theta$~$

$~$\theta$~$

$~$0$~$

$~$1.$~$

$~$M$~$

$~$N$~$

$$~$\frac{M + 1}{M + N + 2} : \frac{N + 1}{M + N + 2}$~$$

$$~$HTHTHTHTHTHTHTHT…$~$$

$~$H.$~$

$~$HTTHTTHTTHTT$~$

$~$\mathbb{E}$~$

$~$\mathbb{E}$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$\Sigma_2$~$

$~$tl$~$

$~$l$~$

$~$t$~$

$~$\text{AIXI}^{tl}$~$

$~$l$~$

$~$t$~$

$~$tl$~$

$~$G$~$

$~$(X, \bullet)$~$

$~$X$~$

$~$\bullet$~$

$~$x, y$~$

$~$X$~$

$~$x \bullet y$~$

$~$X$~$

$~$x \bullet y$~$

$~$xy$~$

$~$x(yz) = (xy)z$~$

$~$x, y, z$~$

$~$X$~$

$~$e$~$

$~$x$~$

$~$X$~$

$~$xe=ex=x$~$

$~$x$~$

$~$X$~$

$~$x^{-1}$~$

$~$X$~$

$~$xx^{-1}=x^{-1}x=e$~$

$~$x, y$~$

$~$X$~$

$~$xy=yx$~$

$~$G=(X, \bullet)$~$

$~$\bullet$~$

$~$x, y$~$

$~$X$~$

$~$x \bullet y$~$

$~$X$~$

$~$x \bullet y$~$

$~$xy$~$

$~$x(yz) = (xy)z$~$

$~$x, y, z$~$

$~$X$~$

$~$e$~$

$~$x$~$

$~$X$~$

$~$xe=ex=x$~$

$~$x$~$

$~$X$~$

$~$x^{-1}$~$

$~$X$~$

$~$xx^{-1}=x^{-1}x=e$~$

$~$x, y$~$

$~$X$~$

$~$xy=yx$~$

$~$\{1, a, a^{-1}, b, b^{-1}, c, c^{-1}, d\}$~$

$~$aba^{-1}db^{-1}=d^{-1}$~$

$~$aa^{-1}bb^{-1}d=d^{-1}$~$

$~$d=d^{-1}$~$

$~$aba^{-1}$~$

$~$aa^{-1}b$~$

$~$(\exists v: \forall w > v: \forall x>0, y>0, z>0: x^w + y^w \neq z^w) \rightarrow ((1 = 0) \vee (1 + 0 = 0 + 1))$~$

$~$p$~$

$~$p$~$

$~$p$~$

$~$1 - p$~$

$~$p$~$

$~$1 - p$~$

$~$p^2$~$

$~$0(1-p) + 4(1-p)p + 1p^2$~$

$~$4 -6p$~$

$~$p = \frac{2}{3}$~$

$~$\$0\cdot\frac{1}{3} + \$4\cdot\frac{2}{3}\frac{1}{3} + \$1\cdot\frac{2}{3}\frac{2}{3} = \$\frac{4}{3} \approx \$1.33.$~$

$~$p$~$

$~$q.$~$

$~$1 : q,$~$

$~$\frac{1}{1+q}$~$

$~$\frac{q}{1+q}$~$

$~$p,$~$

$~$4p(1-p) + 1p^2.$~$

$~$p$~$

$~$4(1-p) + 1p.$~$

$~$\frac{1}{1+q}(4p(1-p) + p^2) + \frac{q}{1+q}(4(1-p) + p)$~$

$~$\frac{-6p - 3q + 4}{q+1}$~$

$~$p=\frac{4-3q}{6}.$~$

$~$q$~$

$~$p$~$

$~$q,$~$

$~$p=q=\frac{4}{9}.$~$

$~$\$4\cdot\frac{4}{9}\frac{5}{9} + \$1\cdot\frac{4}{9}\frac{4}{9} \approx \$1.19.$~$

$~$q$~$

$~$p$~$

$~$q$~$

$~$q,$~$

$~$1 : q \cong \frac{1}{1+q} : \frac{q}{1+q}$~$

$~$p,$~$

$~$q$~$

$~$4p(1-q) + 1pq.$~$

$~$p$~$

$~$4(1-p) + 1p.$~$

$~$q,$~$

$~$p$~$

$$~$\frac{1}{1+q}(4p(1-q) + pq) + \frac{q}{1+q}(4(1-p) + p)$~$$

$~$\frac{4 - 6q}{1+q}$~$

$~$p.$~$

$~$q$~$

$~$q$~$

$~$p$~$

$~$4-6q = 0 \implies q=\frac{2}{3}.$~$

$~$p$~$

$~$q$~$

$~$p$~$

$~$p$~$

$~$A^\complement$~$

$~$A$~$

$~$A$~$

$~$U$~$

$~$A^\complement = U \setminus A$~$

$~$A^\complement$~$

$~$U$~$

$~$A$~$

$~$A \cdot B = \underbrace{A + A + \ldots A}_{B \text{ copies of } A}$~$

$~$A^B = \underbrace{A \times A \times \ldots A}_{B \text{ copies of } A}$~$

$~$A ^ B$~$

$~$A \uparrow B$~$

$~$A \uparrow\uparrow B = \underbrace{A^{A^{\ldots^A}}}_{B \text{ copies of } A}$~$

$~$\uparrow^n$~$

$~$n$~$

$~$A \uparrow^2 B = \underbrace{A \uparrow^1 (A \uparrow^1 (\ldots A))}_{B \text{ copies of } A}$~$

$~$A \uparrow^n B = \underbrace{A \uparrow^{n-1} (A \uparrow^{n-1} (\ldots A))}_{B \text{ copies of } A}$~$

$~$A(n) = n \uparrow^n n$~$

$~$A(6)$~$

$~$A(1)=1$~$

$~$A(2)=4$~$

$~$A(3)$~$

$~$\frac{1}{\text{number}}$~$

$~$5$~$

$~$\frac{5}{\text{number}}$~$

$~$a+b$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$\frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 2$~$

$~$\frac{n}{n}$~$

$~$n$~$

$~$\frac{5}{3} + \frac{8}{3}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$5+8=13$~$

$~$\frac{5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{13}{3}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{5}{3} + \frac{5}{4}$~$

$~$\frac{5}{3} + \frac{5}{4}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$~$

$~$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$~$

$~$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{5}{3} = \frac{20}{12}$~$

$~$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$5 \times 3 = 15$~$

$~$\frac{5}{3} + \frac{5}{4}$~$

$~$\frac{20}{12} + \frac{15}{12}$~$

$~$\frac{35}{12}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{2}$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$\frac{1}{2}$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$2 \times 5 = 10$~$

$~$\frac{1}{10}$~$

$~$\frac{1}{2}$~$

$~$\frac{1}{10}$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$\frac{1}{n}$~$

$~$m$~$

$~$2$~$

$~$n$~$

$~$5$~$

$~$\frac{1}{m \times n}$~$

$~$\frac{1}{n} = \frac{m}{m \times n}$~$

$~$\frac{1}{n}$~$

$~$m$~$

$~$\frac{1}{m \times n}$~$

$~$\frac{1}{m} = \frac{n}{m \times n}$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$n$~$

$~$\frac{1}{m \times n}$~$

$~$\frac{1}{\text{thing}}$~$

$~$\frac{1}{\text{thing}}$~$

$$~$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n}{m \times n} + \frac{m}{m \times n}$~$$

$$~$\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a+b}{m}$~$$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$\frac{1}{m}$~$

$~$\frac{1}{n}$~$

$~$\frac{1}{m \times n}$~$

$~$\frac{5}{4} + \frac{5}{3}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$3 \times 4 = 12$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{5}{4}$~$

$~$\frac{15}{12}$~$

$~$\frac{1}{4}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$5 \times 3$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{5}{3}$~$

$~$\frac{20}{12}$~$

$~$\frac{1}{3}$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$5 \times 4 = 20$~$

$~$\frac{1}{12}$~$

$~$\frac{15}{12} + \frac{20}{12} = \frac{35}{12}$~$

$$~$\frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{a \times n}{m \times n} + \frac{b \times m}{m \times n} = \frac{a \times n + b \times m}{m \times n}$~$$

$~$a \times n + b \times m$~$

$~$a \times n$~$

$~$b \times m$~$

$~$a, b, m, n$~$

$~$m$~$

$~$n$~$

$~$\frac{1}{10} + \frac{1}{5}$~$

$$~$\frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5 + 10 \times 1}{10 \times 5} = \frac{5+10}{50} = \frac{15}{50}$~$$

$~$\frac{3}{10}$~$

$~$\frac{3}{10}$~$

$~$\frac{1}{10}$~$

$~$15$~$

$~$\frac{1}{50}$~$

$~$\frac{1}{10}$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$~$

$~$\frac{1}{10} + \frac{2}{10}$~$

$~$\frac{3}{10}$~$

$~$\frac{1}{15} + \frac{1}{10}$~$

$$~$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1 \times 15 + 10 \times 1}{10 \times 15} = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}$~$$

$~$\frac{1}{30}$~$

$~$\frac{1}{10}$~$

$~$\frac{1}{15}$~$

$~$\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30}$~$

$~$\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$~$

$~$\frac{25}{150} = \frac{1}{6}$~$

$~$\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$~$

$$~$\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{1 \times 10 + 15 \times 1}{15 \times 10} = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}$~$$

$~$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{15} + \frac{1}{10}$~$

$~$\frac{1}{6}$~$

$~$\frac{0}{5} + \frac{2}{5}$~$

$~$5$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$0$~$

$~$2$~$

$~$2$~$

$~$\frac{2}{5}$~$

$~$\frac{0}{7} + \frac{2}{5}$~$

$~$\frac{1}{7}$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$\frac{2}{5}$~$

$~$\frac{1}{7}$~$

$$~$\frac{0}{7} + \frac{2}{5} = \frac{0 \times 5 + 2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{0 + 14}{35} = \frac{14}{35}$~$$

$~$\frac{2}{5}$~$

$~$\frac{1}{5}$~$

$~$\frac{1}{5} + \frac{-1}{10}$~$

$$~$\frac{1}{15} + \frac{-1}{10} = \frac{1 \times 10 + 15 \times (-1)}{15 \times 10} = \frac{10 - 15}{150} = \frac{-5}{150} = \frac{-1}{30}$~$$

$~$\frac{7}{8}$~$

$~$\frac{13}{8}$~$

$~$\frac{a}{b}$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$\frac{1}{8}$~$

$~$\frac{1}{8}$~$

$~$7$~$

$~$13$~$

$~$6$~$

$~$\frac{6}{8}$~$

$~$\frac{3}{4}$~$

$~$\frac{7}{8}$~$

$~$\frac{13}{7}$~$

$~$\frac{a}{b}$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$\frac{1}{8 \times 7} = \frac{1}{56}$~$

$~$\frac{1}{8}$~$

$~$\frac{1}{7}$~$

$~$\frac{7 \times 7}{7 \times 8} = \frac{49}{56}$~$

$~$\frac{8 \times 13}{8 \times 7} = \frac{104}{56}$~$

$~$49$~$

$~$104$~$

$~$55$~$

$~$\frac{1}{56}$~$

$~$\frac{55}{56}$~$

$~$\mathbb P(Y|X)$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$Y,$~$

$~$X.$~$

$~$X$~$

$~$Y.$~$

$~$\pi_0$~$

$~$\mathbb E [U | \operatorname{do}(\pi_0), HumansObeyPlan]$~$

$~$\mathbb E [U | \operatorname{do}(\pi_0)],$~$

$~$(R, +, \times)$~$

$~$R$~$

$~$1$~$

$~$0$~$

$~$r \in R$~$

$~$x \in R$~$

$~$xr = rx = 1$~$

$~$0 \not = 1$~$

$~$X$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$\circ$~$

$~$*$~$

$~$a \circ (b * c) = (a \circ b) * (a \circ c)$~$

$~$(a * b) \circ c = (a \circ c) * (b \circ c)$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$*$~$

$~$*$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$\circ$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$\circ$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$a \circ (a * b) = a * (a \circ b) = a$~$

$~$*$~$

$~$\circ$~$

$~$\wedge$~$

$~$\vee$~$

$~$3\uparrow\uparrow\uparrow3$~$

$~$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{rise}{run}=tan\theta$~$

$~$y=mx+b\rightarrow slope=m$~$

$~$ax+by=c\rightarrow slope=\frac{-a}{b}$~$

$~$\rightarrow$~$

$~$\rightarrow$~$

$~$\rightarrow$~$

$~$\rightarrow$~$

$~$y=mx+{b_1}, y=mx+{b_2}, {b_1}\neq {b_2}$~$

$~$y=mx+{b_1}, y=\frac{-1}{m}x+{b_2}$~$

$~${a_1}x+{b_1}y={c_1}$~$

$~${a_2}x+{b_2}y={c_2}$~$

$~$\frac{a_1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2}$~$

$~$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}$~$

$~$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$~$

$~$\big(x-h)^2+\big(y-k)^2=r^2$~$

$~$\big(h,k)$~$

$~$r=\sqrt{r^2}$~$

$~${x^2}+{y^2}+{ax}+{by}+c=0$~$

$~$\big(\frac{-a}{2},\frac{-b}{2})$~$

$~$\sqrt{\big(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2-c}$~$

$~$\big({x_1},{y_1})$~$

$~$\big(x_1-h)^2+\big(y_1-k)^2<r^2$~$

$~$\big(x_1-h)^2+\big(y_1-k)^2=r^2$~$

$~$\big(x_1-h)^2+\big(y_1-k)^2>r^2$~$

$~$A_n$~$

$~$S_n$~$

$~$A_n$~$

$~$S_n$~$

$~$S_n$~$

$~$(132)$~$

$~$(13)(23)$~$

$~$(1354)$~$

$~$(54)(34)(14)$~$

$~$A_4$~$

$~$(12)(34)$~$

$~$(13)(24)$~$

$~$(14)(23)$~$

$~$(123)$~$

$~$(124)$~$

$~$(134)$~$

$~$(234)$~$

$~$(132)$~$

$~$(143)$~$

$~$(142)$~$

$~$(243)$~$

$~$A_n$~$

$~$2$~$

$~$S_n$~$

$~$A_n$~$

$~$S_n$~$

$~$A_n$~$

$~$A_n$~$

$~$3$~$

$~$A_n$~$

$~$A_n$~$

$~$A_n$~$

$~$3$~$

$~$A_n$~$

$~$3$~$

$~$3$~$

$~$(ij)(kl) = (ijk)(jkl)$~$

$~$(ij)(jk) = (ijk)$~$

$~$(ij)(ij) = e$~$

$~$A_n$~$

$~$3$~$

$~$3$~$

$~$A_n$~$

$~$(ijk) = (ij)(jk)$~$

$$~$ \textbf{ Expected Value of Project } = \textbf{Decision Relevant Info} + \textbf{Rare Signals} + \textbf{Cross-Domain Skills} $~$$

$$~$ \textbf{ Expected Value of Project } = \textbf{Decision Relevant Info} + \textbf{Rare Signals} + \textbf{Cross-Domain Skills} $~$$

$~$\phi$~$

$~$\phi$~$

$~$=, \wedge, \implies$~$

$~$0$~$

$~$n+1$~$

$~$n$~$

$~$\forall n. 0 \not = n+1$~$

$~$\forall$~$

$~$A\implies B$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$A$~$

$~$w$~$

$~$A$~$

$~$w$~$

$~$w$~$

$~$A$~$

$~$PA$~$

$~$\phi$~$

$~$PA$~$

$~$\phi$~$

$~$PA$~$

$~$PA\vdash \phi$~$

$~$PA$~$

$~$\phi$~$

$~$1$~$

$~$=$~$

$~$1$~$

$~$a$~$

$~$0$~$

$~$n$~$

$~$2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots p(n)^{a_n}$~$

$~$n$~$

$~$Axiom(x)$~$

$~$IsEqualTo42(x)$~$

$~$x = 42$~$

$~$PA\vdash IsEqualTo42(42)$~$

$~$PA\vdash \exists x IsEqualTo42(x)$~$

$~$PA\not\vdash IsEqualTo42(7)$~$

$~$PA\vdash Axiom(\textbf{n})$~$

$~$n$~$

$~$PA$~$

$~$n$~$

$~$n+1$~$

$~$Rule(p_1, p_2,…, p_n, r)$~$

$~$PA$~$

$~$p_1, …., p_n$~$

$~$r$~$

$~$Proof(x,y)$~$

$~$PA$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$\exists x. Proof(x,y)$~$

$~$\square_{PA}(y)$~$

$~$\exists$~$

$~$\square_{PA}(x)$~$

$~$PA$~$

$~$x$~$

$~$\ulcorner 1+1=2 \urcorner$~$

$~$1+1=2$~$

$~$PA\vdash \square_{PA}(\ulcorner 1+1=2 \urcorner)$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$1+1=2$~$

$~$PA$~$

$~$Proof(x,y)$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$\square_{PA}$~$

$~$PA\vdash A$~$

$~$PA\vdash \square_{PA}(\ulcorner A\urcorner)$~$

$~$PA\vdash \square_{PA}(\ulcorner A\rightarrow B\urcorner) \rightarrow [\square_{PA}(\ulcorner A \urcorner)\rightarrow \square_{PA}(\ulcorner B \urcorner)]$~$

$~$PA\vdash \square_{PA}(\ulcorner A\urcorner) \rightarrow \square_{PA} \square_{PA} (\ulcorner A\urcorner)$~$

$~$PA$~$

$~$A$~$

$~$A$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$A$~$

$~$B$~$

$~$A$~$

$~$A\rightarrow B$~$

$~$B$~$

$~$\square_{PA}(\ulcorner A \urcorner)$~$

$~$\phi(x)$~$

$~$\psi$~$

$~$PA\vdash \psi \leftrightarrow \phi(\ulcorner \psi \urcorner)$~$

$~$PA\vdash \square_{PA}(\ulcorner A\urcorner) \rightarrow A$~$

$~$PA\vdash A$~$

$~$PA\not\vdash A$~$

$~$PA\not\vdash \square_{PA}(\ulcorner A\urcorner) \rightarrow A$~$

$~$A$~$

$~$A$~$

$~$A$~$

$~$PA$~$

$~$A$~$

$~$n$~$

$~$PA\vdash Proof(\textbf n, \ulcorner A\urcorner)$~$

$~$A$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$n$~$

$~$Proof(\textbf n,\ulcorner A\urcorner)$~$

$~$PA$~$

$~$n$~$

$~$PA$~$

$~$P\wedge \neg P$~$

$~$P\wedge \neg P$~$

$~$P$~$

$~$\bot$~$

$~$PA$~$

$~$PA\not \vdash \neg \square_{PA}(\bot)$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$\square_{PA}$~$

$~$PA$~$

$~$PA$~$

$~$A$~$

$~$\square_{PA}(\ulcorner A\urcorner$~$

$~$A$~$

$~$PA$~$

$~$R$~$

$~$(aRb ∧ bRa) → a = b$~$

$~$a ≠ b → (¬aRb ∨ ¬bRa)$~$

$~$aRa$~$

$~$\{(0,0), (1,1), (2,2)…\}$~$

$~$\{(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)…\}$~$

$~$\{…(9,3),(10,5),(10,2),(14,7),(14,2)…)\}$~$

$~$ax^2 + bx + c = 0$~$

$~$ax^2 + bx + c = 0$~$

$$~$\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N f(t_k) \Delta t$~$$

$$~$\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N f(t_k) \Delta t$~$$

$~$n^\text{th}$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_{n+1}$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Pi_{n+1}$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Delta_n$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$\Delta_0$~$

$~$\Pi_0$~$

$~$\Sigma_0$~$

$~$\forall x < 10: \exists y < x: x + y < 10$~$

$~$x, y, z…$~$

$~$\phi(x, y, z…)$~$

$~$\Sigma_n,$~$

$~$\forall x: \forall y: \forall z: … \phi(x, y, z…)$~$

$~$\Pi_{n+1}$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_{n+1}$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Delta_n$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$\forall x$~$

$~$\exists y$~$

$~$\phi(x, y) \leftrightarrow [(x + y) = (y + x)],$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$\Delta_0 = \Pi_0 = \Sigma_0.$~$

$~$+$~$

$~$=$~$

$~$\Delta_0$~$

$~$c$~$

$~$d$~$

$~$c + d = d + c$~$

$~$\forall x_1: \forall x_2: …$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$x_i$~$

$~$\Pi_{n+1}.$~$

$~$\forall x: (x + 3) = (3 + x)$~$

$~$\Pi_1.$~$

$~$\exists x_1: \exists x_2: …$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_{n+1}.$~$

$~$\exists y: \forall x: (x + y) = (y + x)$~$

$~$\Sigma_2$~$

$~$\exists y: \exists x: (x + y) = (y + x)$~$

$~$\Sigma_1.$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Delta_n.$~$

$~$\Delta_0$~$

$~$\forall x: \exists y < x: (x + y) = (y + x)$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$c,$~$

$~$\forall x < c: \phi(x)$~$

$~$\phi(0) \wedge \phi(1) … \wedge \phi(c)$~$

$~$\exists x < c: \phi(x)$~$

$~$\phi(0) \vee \phi(1) \vee …$~$

$~$z = 2^x \cdot 3^y$~$

$~$\Delta_{n+1}$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Pi_{n}$~$

$~$\Pi_{n+1}$~$

$~$\exists$~$

$~$\Sigma_{n+1}$~$

$~$\Pi_{n}$~$

$~$\forall$~$

$~$\phi \in \Pi_n$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\phi$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Pi_n.$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$\phi \in \Delta_0$~$

$~$\exists x: \phi(x)$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\phi$~$

$~$\forall x: \phi(x)$~$

$~$\phi$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$\Pi_1.$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$\Delta_0,$~$

$~$\Pi_0,$~$

$~$\Sigma_0$~$

$~$\Pi_1.$~$

$~$y^9 = 9^y.$~$

$~$y^9 = 9^y.$~$

$~$\Delta_0,$~$

$~$\Sigma_1.$~$

$~$c$~$

$~$c$~$

$~$\Sigma_1.$~$

$~$c,$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$c,$~$

$~$\Pi_2.$~$

$~$(x + y) > 10^9$~$

$~$\Sigma_2,$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$x.$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Sigma_{n+1}$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Pi_{n+1}$~$

$~$\Sigma_n$~$

$~$\Pi_n$~$

$~$\Delta_n.$~$

$~$\Sigma_1$~$

$~$y$~$

$~$y^9 = 9^y$~$

$~$y$~$

$~$y^9 = 9^y,$~$

$~$y^9 = 9^y$~$

$~$y$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\Delta_1$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$\Sigma_2$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$x,$~$

$~$y$~$

$~$x^x$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$x^x$~$

$~$y$~$

$~$x^x$~$

$~$x,$~$

$~$x = 2,$~$

$~$y$~$

$~$2^2$~$

$~$x,$~$

$~$y$~$

$~$x^x$~$

$~$c,$~$

$~$c^c,$~$

$~$c=1.$~$

$~$z = 2^x \cdot 3^y$~$

$~$x^3 + y^3 = z^3$~$

$~$w$~$

$~$w = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$~$

$~$x^3 + y^3 = z^3.$~$

$~$\Pi_1,$~$

$~$x^w + y^w = z^w.$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$X \rightarrow Y$~$

$~$Y$~$

$~$X$~$

$~$X$~$

$~$Y$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$x$~$

$~$y = f(x) = 4x+1$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$\Pi_1$~$

$~$4x+1$~$

$~$\Pi_2$~$

$~$f(a, b, c, d) = ac - bd$~$

$~$+$~$

$~$(\mathrm{People} \times \mathrm{Ages})$~$

$~$\bullet : X \times X \to X$~$

$~$x, y, z$~$

$~$X$~$

$~$x \bullet (y \bullet z) = (x \bullet y) \bullet z$~$

$~$+$~$

$~$(x + y) + z = x + (y + z)$~$

$~$x, y,$~$

$~$z$~$

$~$f$~$

$~$x, y,$~$

$~$z$~$

$~$f$~$

$~$f$~$

$~$f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)),$~$

$~$f$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$z$~$

$~$f$~$

$~$y$~$

$~$z$~$

$~$x$~$

$~$f$~$

$~$f$~$

$~$f_3 : X \times X \times X \to X,$~$

$~$f$~$

$~$f$~$

$~$f$~$

$~$f_4, f_5, \ldots,$~$

$~$\bullet$~$

$~$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$~$

$~$x$~$

$~$y,$~$

$~$y$~$

$~$x.$~$

$~$a \cdot (b \cdot (c \cdot d)),$~$

$~$((a \cdot b) \cdot c) \cdot d.$~$

$~$\cdot$~$

$~$3 + 2 + (-7) + 5 + (-2) + (-3) + 7,$~$

$~$3 - 3 + 2 - 2 + 7 - 7 + 5 = 5,$~$

$~$(x + y) + z = x + (y + z)$~$

$~$x, y,$~$

$~$z.$~$

$~$n$~$

$~$n$~$

$~$(x \times y) \times z = x \times (y \times z)$~$

$~$x, y,$~$

$~$z.$~$

$~$n$~$

$~$n$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$z$~$

$~$(x \times y) \times z$~$

$~$x \times (y \times z).$~$

$~$x$~$

$~$y$~$

$~$z$~$

$~$z$~$

$~$(5-3)-2=0$~$

$~$5-(3-2)=4.$~$

$~$\uparrow$~$

$~$\uparrow$~$

$~$\uparrow\downarrow.$~$

$~$\uparrow\downarrow$~$

$~$\uparrow,$~$

$~$\uparrow\downarrow\downarrow,$~$

$~$\uparrow$~$

$~$\uparrow\downarrow,$~$

$~$\uparrow\downarrow\uparrow,$~$

$~$?$~$

$~$(red\ ?\ green)\ ?\ blue = blue$~$

$~$red\ ?\ (green\ ?\ blue)=red.$~$

$~$f : X \times X \to X$~$

$~$X$~$

$~$3 + 4 + 5 + 6,$~$

$~$+$~$

$~$[a, b, c, d, \ldots]$~$

$~$a$~$

$~$b$~$

$~$[a, b]$~$

$~$c$~$

$~$b$~$

$~$c$~$

$~$[b, c]$~$

$~$a$~$

$~$[a, b, c]$~$

$~$f : X \times X \to Y$~$